El 17 de noviembre de 1996 el Mono disputó su último encuentro en Boca, fue en el partido que el equipo Xeneize perdió 3-1 en su visita a Banfield. El "Mono" defendió el arco boquense en 479 partidos y logró un récord de 825 minutos con la valla invicta.

Nacido en Colombia, hijo del también portero argentino Ricardo Jorge Navarro, que se encontraba en este país realizando su actividad, comenzó su recorrido futbolístico en Argentina. Debutó profesionalmente el 8 de abril de 1984 en Vélez Sarsfield que catapultó en primera división al Mono. Vélez enfrentó a Temperley y ganó 1-0 con un gol de Carlos Bianchi.

En 1985 fue convocado por el seleccionador colombiano Gabriel Ochoa Uribe para jugar el repechaje de las Eliminatorias al Mundial de México 1986 con la Selección Nacional de Colombia. Navarro Montoya disputó tres partidos oficiales, en los que quedó eliminado el seleccionado "cafetero". Con el correr de los años, Carlos consiguió una habilitación para jugar en el seleccionado argentino, casi comenzado el mundial de Francia 1998, cuando ya había perdido el visto bueno de los distintos técnicos de dicho seleccionado.

Durante el año 1986 tuvo un breve paso por el club colombiano Independiente Santa Fe. En 1987 regresó a Argentina, nuevamente a Vélez Sarsfield. Un año después, desembarcó en Boca Juniors, donde disputó 396 de sus 752 partidos oficiales. El debut en Boca fue el 18 de septiembre de 1988 ante River Plate, al que su equipo venció por 2 a 0, en 1989 ganó con Boca la Supercopa Sudamericana, siendo figura en la serie de penales ante Independiente en la final. En 1990 ganó la Recopa Sudamericana con Boca, derrotando a Atlético Nacional de Medellín. Este partido final se jugó en Miami.

En 1991 logró el Torneo Clausura argentino, perdiendo la final de la Temporada 90/91 por penales ante Newell's, ganador del Torneo Apertura 1990. Navarro Montoya fue elegido por el CEPA como el mejor futbolista de aquella temporada. En 1992 ganó la Copa Máster, venciendo en la final al Cruzeiro de Brasil, También en 1992 logró el Torneo Apertura argentino. En 1993 volvió a salir campeón con Boca de la Copa de Oro, venciendo en las finales al Atlético Mineiro. En 1997 dejó Boca, siendo sus sucesores Sandro Guzmán y Óscar Córdoba.